【構造力学】断面１次モーメントを用いて図形の図心を求める

問題

下図に示す図形の図心を求めよ。  

解説

構造力学の基礎的な問題の1つ。図心を求める方法はいくつもありますが、今回は断面１次モーメントを用いた方法で解きましょう。 断面１次モーメントは、平面図形内の１点(y,z)を囲む面積要素をdAとして、以下の式で定義される物理量です。

　G_z=∫ydA

　G_z：z軸に対する断面１次モーメント、y：z軸からの距離

単位はm³、mm³などとなります。

問題は図心の求め方ですが、回転モーメントと同じようなイメージを持つことで簡単に解くことができます。

図心（重さが均一なら＝重心）では、回転モーメントはゼロになります。また、重心を通る軸から離れた位置の回転モーメントは「距離」×「重さ」で表現できますね。

ある点の回転モーメントをＭ、ある点から図心までの距離をy₀、重さをWとすると、
　M=y₀×W
と考えることができます。

「重さ」を「面積」に、「回転モーメント」を「断面１次モーメント」に置き換えて考えてみましょう。

断面１次モーメントも、任意のz軸に対する断面１次モーメントをG_z、任意のz軸から図心までの距離y₀、z軸から距離y₀の面の面積をＡとすると、
  G_z=y₀×Ａ
となります。

このあたりの考え方は、こちらの記事にまとめています。

つまり、任意のz軸を設定し、そこから図心までの距離をy₀とすると、以下の式からy₀を算出することができます。

  y₀=Gz/A  

この式を用いて、図心を求めていきましょう。

回答

下図のようにy軸とz軸を置き、z軸から図心までの距離をy₀とする。

z軸に対する断面１次モーメントG_zは以下の通り。

　G_z=∫ydA
　　=y₁×A₁ + y₂×A₂
　　=1 × 16 + 6 × 16
　　=112 [cm³]

面積A=A₁+A₂=32[cm²]なので、 y₀=Gz/A  より

　 y₀=Gz/A　
　　 =112/32
       =3.5 [cm]

y軸から図心までの距離z₀は、対称性から明らかにz₀=4.0[cm]なので、図心の位置は以下の位置となる。
（y,z）=(3.5cm,4.0cm)

まとめ

断面１次モーメントは、概念がわかりづらい断面量の１つです。

実務では電算でさらっと計算されるので、あまり気にすることが少ないと思いますが、この断面量のイメージと定義をしっかりと頭に入れておくと、構造計算の内容の理解が容易になるでしょう。