【構造力学】断面1次モーメントを用いて図形の図心を求める

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問題

下図に示す図形の図心を求めよ。  

解説

構造力学の基礎的な問題の1つ。図心を求める方法はいくつもありますが、今回は断面1次モーメントを用いた方法で解きましょう。 断面1次モーメントは、平面図形内の1点(y,z)を囲む面積要素をdAとして、以下の式で定義される物理量です。

 Gz=∫ydA

 Gz:z軸に対する断面1次モーメント、yz軸からの距離

単位はm3、mm3などとなります。

問題は図心の求め方ですが、回転モーメントと同じようなイメージを持つことで簡単に解くことができます。

図心(重さが均一なら=重心)では、回転モーメントはゼロになります。また、重心を通る軸から離れた位置の回転モーメントは「距離」×「重さ」で表現できますね。

ある点の回転モーメントを、ある点から図心までの距離をy0、重さをWとすると、
 M=y0×W
と考えることができます。

「重さ」を「面積」に、「回転モーメント」を「断面1次モーメント」に置き換えて考えてみましょう。

断面1次モーメントも、任意のz軸に対する断面1次モーメントをGz、任意のz軸から図心までの距離y0、z軸から距離y0の面の面積をAとすると、
  Gz=y0×A
となります。

このあたりの考え方は、こちらの記事にまとめています。

断面1次モーメントを扱うのは簡単ですが、意味を解説している参考書は多くありません。本記事では、定義や使い方だけでなく、その意味について解説していきます。

つまり、任意のz軸を設定し、そこから図心までの距離をy0とすると、以下の式からy0を算出することができます。

  y0=Gz/A  

この式を用いて、図心を求めていきましょう。

回答

下図のようにy軸とz軸を置き、z軸から図心までの距離をy0とする。

z軸に対する断面1次モーメントGzは以下の通り。

 Gz=∫ydA
  =y1×A1 + y2×A2
  =1 × 16 + 6 × 16
  =112 [cm3]

面積A=A1+A2=32[cm2]なので、 y0=Gz/A  より

  y0=Gz/A 
   =112/32
       =3.5
[cm]

y軸から図心までの距離z0は、対称性から明らかにz0=4.0[cm]なので、図心の位置は以下の位置となる。
(y,z)=(3.5cm,4.0cm)

まとめ

断面1次モーメントは、概念がわかりづらい断面量の1つです。

実務では電算でさらっと計算されるので、あまり気にすることが少ないと思いますが、この断面量のイメージと定義をしっかりと頭に入れておくと、構造計算の内容の理解が容易になるでしょう。

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